\section{逼近阶与超越数}

\begin{definition}%定义1
设 $\alpha$ 为正实数。 对正实数 $r$, 若存在常数 $c>0$ 和无限多有理数 $p / q$ $(q>0)$ 使
\[
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{c}{q^{r}}
\]
则称 $\alpha$ 可被逼近到 $r$ 阶， 或 $r$ 为 $\alpha$ 的可逼近阶。 否则（即对任意 $c>0$, 只有有限个(或没有) $p / q(q>0)$ 使得 $\left.|\alpha-p / q| \leqslant c / q^{r}\right)$, 便称 $r$ 为不可逼近阶。
\end{definition}

以 $\mu(\alpha)$ 记可逼近阶的最大值， 或者不可逼近阶的最小值， 则称 $\mu(\alpha)$ 为 $\alpha$的(有理)逼近阶， 或逼近指数， 或无理度 (approximation order, exponent, irrational measure). $\mu(\alpha)$ 也可定义为：若 $r<\mu(\alpha)$, 则 $r$ 为 $\alpha$ 的可逼近阶; 若 $r>\mu(\alpha)$, 则 $r$ 为 $\alpha$ 的不可逼近阶。

\begin{remark}%注记1
$0<s<r$ 时， $c / q^{r} \leqslant c / q^{s}$. 故若 $r$ 为可逼近阶， 则 $s$ 也是。 故上述定义合理。
\end{remark}

\begin{remark}%注记2
逼近阶 $\mu(\alpha)$ 也可定义为“不可逼近阶集合”的下确界（即最大的
下界).

下确界例 (1)：“非负实数集 $S$ ”的下确界为 0 (此例中下确界属于集合 $S$ ).

下确界例 (2): “正实数集 $T$ ”的下确界为 0 (此例中下确界不属于集合 $T$ ).
\end{remark}

\begin{lemma}%引理1
若存在 $c$ 使任意 $p / q(q>0)$ 均满足 $\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c}{q^{t}}$, 则 $\mu(\alpha) \leqslant t$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 用反证法。 假若 $\mu(\alpha)>t$, 则存在可逼近阶 $r$ 满足 $t<r<\mu(\alpha)$, 即存在 $c^{\prime}$ 和无限多 $p / q(q>0)$ 使 $\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{c^{\prime}}{q^{\prime}}$. 于是， 对这些无限多 $p / q$ 有 $\frac{c}{q^{t}} \leqslant \frac{c^{\prime}}{q^{\prime}}$,即 $c^{\prime} / c \geqslant q^{r-t}$, 不可能有无限多正整数 $q$ 满足此式， 矛盾。
\end{proof}

\begin{theorem}%定理1
(1) 对任意正有理数 $\alpha$, 有 $\mu(\alpha)=1$, 且 $\alpha$ 可逼近到 1 阶。

 (2) 对任意正无理数 $\alpha$, 有 $\mu(\alpha) \geqslant 2$, 且 $\alpha$ 可逼近到 2 阶。
\end{theorem}

\begin{proof}
  (1) 设 $\alpha=a / b,(a, b)=1$, 且 $a, b>0$.

 (i) 对任意 $p / q \neq a / b$ 有
\[
\left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right|=\frac{|a q-b p|}{b q} \geqslant \frac{1}{b q}
\]
由引理 1 知，$\mu(\alpha) \leqslant 1$.

(ii) 由辗转相除可得 Bézout 等式 $u a-v b=1$ ( $u, v$ 为整数). 于是
\[
(u+k b) a-(v+k a) b=1
\]
对任意整数 $k$ 成立。 设 $u+k_{0} b>0$, 则
\[
\left|\frac{a}{b}-\frac{v+k a}{u+k b}\right|=\frac{1}{|b(u+k b)|} \leqslant \frac{1}{u+k b} \quad\left(\text { 整数 } k \geqslant k_{0}\right..
\]
故知 $\mu(\alpha) \geqslant 1$.

 (2) 再看正无理数 $\alpha$, 其连分数的渐近分数 $p_{n} / q_{n}$ 皆满足
\[
\left|\alpha-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right| \leqslant \frac{1}{q_{n}^{2}}
\]
这就说明， $\alpha$ 可被有理数逼近到 2 阶， 即 $\mu(\alpha) \geqslant 2$.
\end{proof}

上述定理可用于区分有理数和无理数。 有理数被逼近的精确度较差（这可以从连分数展开得到提示， 因为有理数的连分数展开是有限的， 其渐近分数只有有限个。 而无理数的渐近分数有无限多， 都是最佳的逼近). 下面的结果将说明， 用逼近阶段方法， 可以区分代数数和超越数。

若复数 $\alpha$ 是一个整数系数多项式的根， 则称 $\alpha$ 是代数数 (algebraic number).不是代数数的数称为超越数 (transcendental number). 若 $\alpha$ 是 $n$ 次整数系数多项
式的根而且不是更低次数整系数多项式的根， 则称 $\alpha$ 是 $n$ 次代数数。

例如， 非零有理数都是一次代数数。 $\sqrt{3}, \sqrt{-1}=\mathrm{i}$ 是二次代数数。 $\sqrt{1+\sqrt{3}}$ 是 4 次代数数。 5 次和 5 次以上的代数数不一定能用根式写出来(Galois 定理). 圆周率 $\pi=3.14159 \cdots$, 和自然对数底 $2.71828 \cdots$ 是著名的超越数。 将在附录 2 中证明。

下面的定理刻画了代数数的特征性质。

\begin{theorem}%定理2
(Liouville) 设正实数 $\alpha$ 是 $n$ 次代数数， 则 $\mu(\alpha) \leqslant n$.
\end{theorem}

\begin{proof}
 设 $\alpha$ 是如下多项式的根：
\[
f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}
\]
$\left(a_{n} \neq 0, a_{0}, \cdots, a_{n}\right.$ 皆整数). 则 $f(x)$ 无有理根 (否则 $\alpha$ 是更低次数多项式的根). 故对任意 $p / q(q>0)$ 有
\[
0 \neq|f(p / q)|=\left(a_{n} p^{n}+a_{n-1} p^{n-1} q+\cdots+a_{1} p q^{n-1}+a_{0} q^{n}\right) / q^{n} \geqslant 1 / q^{n}
\]
由中值定理可知， 有 $z$ 在 $\alpha$ 与 $p / q$ 之间使
\[
|f(p / q)|=|f(\alpha)-f(p / q)|=\left|(\alpha-p / q) f^{\prime}(z)\right| \leqslant|(\alpha-p / q) M|
\]
其中 $M$ 是 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 的上界(在含 $\alpha$ 及其有理逼近值的适当区间 $D$ 中). 故
\[
\left.|\alpha-p / q| \geqslant|f(p / q)| / M \geqslant 1 / M q^{n} \quad \text { (对任意 } p / q\right).
\]
由引理 1 , 此式即说明 $\mu(\alpha) \leqslant n$.
\end{proof}

特别， 对于二次无理数 $\alpha$, 定理 1 和定理 2 分别说明 $\mu(\alpha) \geqslant 2$ 和 $\mu(\alpha) \leqslant$ 2 , 故 $\mu(\alpha)=2$.

定理 2 可用以认定超越数。 有理逼近 (Diophantus 逼近) 与超越数理论， 是很相近的领域， 直到现在， 二者有许多共同的定理和方法。

\begin{example}%例1
(Liouville 常数， 1851) 如下定义的 $\lambda$ 是超越数：
\[
\lambda=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10^{k!}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{6}}+\cdots+\frac{1}{10^{k!}}+\cdots=0.11000100 \cdots
\]
\end{example}

\begin{proof}
 记
\[
c_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10^{k!}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{6}}+\cdots+\frac{1}{10^{n!}}=\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a_{n}}{10^{n!}}
\]
则
\[
\left|\lambda-\frac{a_{n}}{10^{n!}}\right|=\frac{1}{10^{(n+1)!}}+\cdots \leqslant \frac{2}{10^{(n+1)!}}=\frac{2}{\left(10^{n!}\right)^{n+1}}
\]
这说明 $\lambda$ 可被有理数逼近到任意大阶， 即 $\mu(\lambda)=\infty$. 由定理 2 知， $\lambda$ 为超越数。
\end{proof}

\begin{remark}
  更一般地， 凡是 $\mu(\alpha)=\infty$ 的无理数 $\alpha$ 都称为 Liouville 常数， 都
是超越数。 例如
\[
\left.\alpha=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{b^{k!}} \quad \text { (整数 } b \geqslant 2,0 \leqslant a_{k}<b\right).
\]
它们是人类首次明确证明的超越数。 后来发现的圆周率 $\pi=3.14159 \cdots$ 和自然对数底 $e=2.71828 \cdots$ 为超越数的证明， 也都是用类似的方法。 Liouville 常数集是不可数集 (对上述级数， 将非零位与实数比较), 但 “几乎所有的超越数不是 Liouville 常数”, $\pi$ 和 $\mathrm{e}$ 都不是 Liouville 常数。
\end{remark}

Liouville 定理的改进工作一直在进行， 每一改进都可证明更多的数是超越数。 最主要是如下定理， Roth 为此获得 Fields(韭尔兹) 奖。
\begin{theorem*}[定理 A (Thue-Siegel-Roth(图埃-西格尔-罗特))] 设 $\alpha$ 是无理代数数。 对任意正实数 $\varepsilon$, 存在正常数 $c$ (仅依赖于 $\alpha, \varepsilon$ ) 使得对任意整数 $p, q(q>0)$ 有
\[
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{c}{q^{2+\varepsilon}}
\]
\end{theorem*}

此定理实为： $\mu(\alpha)=2$ (对无理代数数 $\alpha$ ). 因为此定理说明 $\mu(\alpha) \leqslant 2+\dot{\varepsilon}$ (对任意正实数 $\varepsilon$. 由引理 1). 但连分数理论 (定理 1) 已证明 $r(\alpha) \geqslant 2$.

由定理 $\mathrm{A}$ 知道， 若 $\mu(\alpha)>2$, 则 $\alpha$ 是超越数。 这是判断一个数为超越数的充分条件。

实数 $\alpha$ 的分类和有理逼近阶 $\mu(\alpha)$ 表

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\hline
\multirow{2}{*}{}\begin{tabular}{c}
分类 \\
\end{tabular} & \multicolumn{2}{|c|}{代数数} & \multicolumn{2}{|c}{超越数} \\
\hline
 & $n(\geqslant 2)$ 次 & 非 Liouville 常数 & Liouville 常数 &  \\
\hline
$\mu(\alpha)$ & 1 & 2 & $\geqslant 2$ & $\infty$ \\
\hline
{例} & $2 / 3$ & $\sqrt{5}, \alpha^{5}-\alpha-1=0$ & $\pi, \mathrm{e}, \ln 2$ & $\lambda$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
已经知道 $\mu(e)=2(1987), \mu(\pi)<7.6063(2008), \mu(\ln 2)<3.574554$ 等。 

另一方面， 设 $\alpha$ 的连分数为 $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right]$, 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 有子序列增长 “太快”, 则 $\alpha$ 是超越数。 以下是两个有关结果 ( $p_{n} / q_{n}$ 为连分数的渐近分数):

\begin{theorem*}[定理 B] 若 $\left(\log \log q_{n}\right) \sqrt{\log n} / n$ 无界(对正整数 $n$ )，则 $\alpha$ 是超越数。
\end{theorem*}

\begin{theorem*}[定理C]
\[
\mu(\alpha)=1+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\log q_{n+1}}{\log q_{n}}=2+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\log a_{n+1}}{\log q_{n}}
\]
其中 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 表示序列 $\left\{y_{n}\right\}$ 的可能的子序列极限值的最大值， $\log$ 是自然对数 $(\log \mathrm{e}=1)$.
\end{theorem*}

事实上， 由 $\S 6.1$ 定理 2 知
\[
\frac{1}{2 q_{n} q_{n+1}}<\left|\alpha-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|<\frac{1}{q_{n} q_{n+1}}<\frac{1}{q_{n}^{2}}
\]
以 $\left|\alpha-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|=\frac{1}{q_{n}^{r_{n}}}$ 定义 $r_{n}$, 可知 $r_{n}>2$. 上式取自然对数得到
\[
\begin{gathered}
\log \left(2 q_{n} q_{n+1}\right)>r_{n} \log q_{n}>\log \left(q_{n} q_{n+1}\right) \\
\log 2+\log q_{n}+\log q_{n+1}>r_{n} \log q_{n}>\log q_{n}+\log q_{n+1} \\
\log 2 / \log q_{n}+1+\log q_{n+1} / \log q_{n}>r_{n}>1+\log q_{n+1} / \log q_{n}
\end{gathered}
\]
取 $\left\{\log q_{n+1} / \log q_{n}\right\}$ 的一个极限最大的子序列， 即得到
\[
\mu(\alpha)=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} r_{n}=1+\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(\log q_{n+1} / \log q_{n}\right)
\]
再由 $q_{n+1}=a_{n+1} q_{n}+q_{n-1}=a_{n+1} q_{n}\left(1+q_{n-1} / q_{n}\right)$, 即得第 2 式。

\begin{example}%例2
$(\sqrt{5}+1) / 2=[1,1, \cdots]$, 故 $\log a_{n+1}=0$, 故 $\mu((\sqrt{5}+1) / 2)=2$.
\end{example}

附录 2 中将比较系统地讨论超越数问题。

